Écoulement des fluides

Exercice 1 : Étude de la sténose artérielle (14 points)

La sténose est un rétrécissement du diamètre d'une artère, souvent dû à des plaques d'athérome. Ce phénomène modifie l'écoulement sanguin et peut avoir des conséquences graves. On se propose de modéliser le sang comme un fluide parfait, incompressible et en écoulement permanent.

Données :

• Masse volumique du sang : $\rho = 1060 \text{ kg} \cdot \text{m}^{-3}$

• On considère une artère horizontale. On note A un point dans la partie saine de l'artère et B un point dans la zone de la sténose.

• Diamètre de l'artère en A : $d_A = 1,2 \text{ cm}$

• Vitesse du sang en A : $v_A = 0,25 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}$

• Diamètre de l'artère en B (au niveau de la sténose) : $d_B = 0,80 \text{ cm}$

Rappel : L'aire d'un disque de rayon r est $S = \pi \cdot r^2$.

Partie 1 : Écoulement dans la partie saine de l'artère (5 points)

1. Calculer l'aire de la section $S_A$ de l'artère au point A. Donner le résultat en $\text{m}^2$. (2 points)

2. Rappeler l'expression du débit volumique $D_v$ en fonction de la vitesse d'écoulement $v$ et de l'aire de la section $S$. (1 point)

3. Calculer le débit volumique $D_v$ du sang dans l'artère. (2 points)

Partie 2 : Effet de la sténose sur la vitesse du sang (5 points)

1. Pour un fluide incompressible en écoulement permanent, le débit volumique se conserve. Écrire la relation (appelée équation de continuité) entre les vitesses $v_A$, $v_B$ et les aires de section $S_A$, $S_B$. (1 point)

2. Calculer l'aire de la section $S_B$ de l'artère au point B. (1 point)

3. En déduire la vitesse $v_B$ du sang au niveau de la sténose. Commenter l'évolution de la vitesse par rapport au point A. (3 points)

Partie 3 : Effet de la sténose sur la pression sanguine (4 points)

1. Énoncer la relation de Bernoulli pour un fluide parfait en écoulement permanent entre les points A et B, en tenant compte du fait que l'artère est horizontale. (2 points)

2. En utilisant les résultats précédents, déterminer l'expression littérale puis la valeur de la différence de pression $P_A - P_B$. Expliquer en une phrase le phénomène physique observé, connu sous le nom d'effet Venturi. (2 points)

Exercice 2 : Principe d'un densimètre (6 points)

Un densimètre est un instrument permettant de mesurer la masse volumique d'un liquide. Il est constitué d'une tige de verre lestée. On s'intéresse à un densimètre de masse $m = 25,0 \text{ g}$ que l'on plonge dans un liquide de masse volumique $\rho_{liq}$ inconnue.

Données :

• Intensité de la pesanteur : $g = 9,81 \text{ N} \cdot \text{kg}^{-1}$

1. Bilan des forces (2 points)

Le densimètre est en équilibre dans le liquide.

1. Nommer les deux forces qui s'exercent sur le densimètre et les représenter sur un schéma simple. (1 point)

2. Énoncer le principe d'Archimède. (1 point)

2. Détermination de la masse volumique (4 points)

À l'équilibre, le volume de la partie immergée du densimètre est $V_{imm} = 22,5 \text{ cm}^3$.

1. Écrire la condition d'équilibre du densimètre en fonction du poids $\vec{P}$ et de la poussée d'Archimède $\vec{\Pi}_A$. (1 point)

2. En déduire l'expression littérale de la masse volumique du liquide $\rho_{liq}$ en fonction de $m$ et $V_{imm}$. (1 point)

3. Calculer la valeur de $\rho_{liq}$ en $\text{kg} \cdot \text{m}^{-3}$. Attention aux unités. (2 points)