Décroissance radioactive

Exercice 1 : Scintigraphie thyroïdienne à l'iode 131 (10 points)

La scintigraphie thyroïdienne est un examen d'imagerie médicale qui utilise un traceur radioactif, l'iode 131 ($^{131}_{53}I$), pour étudier la morphologie et le fonctionnement de la glande thyroïde. L'iode 131 est un émetteur de rayonnement $\beta^{-}$.

Données :

• Masse d'un noyau d'iode 131 : $m_I = 2,176 \times 10^{-25}$ kg

• Demi-vie de l'iode 131 : $t_{1/2} = 8,0$ jours

• Constante d'Avogadro : $N_A = 6,02 \times 10^{23}$ mol$^{-1}$

• Quelques noyaux : $^{131}*{52}Te*$,$*^{131}*{53}I$,$^{131}*{54}Xe*$,$*^{130}*{53}I$

Partie 1 : Étude du noyau et de sa désintégration

1. Donner la composition du noyau d'iode 131. (1 pt)

2. Écrire l'équation de la désintégration $\beta^{-}$ du noyau d'iode 131 en précisant les lois de conservation utilisées. Identifier le noyau fils parmi ceux proposés. (2 pts)

Partie 2 : Loi de décroissance radioactive

Le nombre de noyaux radioactifs $N(t)$ restants dans un échantillon à l'instant $t$ est régi par l'équation différentielle :

frac

où $\lambda$ est la constante radioactive.

1. Montrer que la fonction $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ est solution de cette équation différentielle, où $N_0$ est le nombre de noyaux à l'instant initial $t=0$. (2 pts)

2. Définir le temps de demi-vie $t_{1/2}$ d'un échantillon radioactif. (1 pt)

3. À partir de la loi de décroissance $N(t)$, établir la relation entre le temps de demi-vie $t_{1/2}$ et la constante radioactive $\lambda$. (2 pts)

Partie 3 : Application à la scintigraphie

Un patient reçoit une injection contenant une masse $m_0 = 1,0$ ng (nanogramme) d'iode 131 à l'instant $t=0$. L'activité initiale de cet échantillon est $A_0 = 4,6 \times 10^6$ Bq.

1. Calculer la valeur de la constante radioactive $\lambda$ de l'iode 131 en s$^{-1}$. (1 pt)

2. Quelle sera l'activité $A$ de l'échantillon dans l'organisme du patient 3 jours après l'injection ? (1 pt)

Exercice 2 : Datation au carbone 14 (10 points)

Le carbone 14 ($^{14}C$) est un isotope radioactif du carbone, présent en proportion constante dans l'atmosphère et les organismes vivants. À la mort de l'organisme, le $^{14}C$ n'est plus renouvelé et sa quantité diminue selon la loi de décroissance radioactive. On utilise cette propriété pour dater des vestiges archéologiques.

Données :

• Temps de demi-vie du carbone 14 : $t_{1/2} = 5730$ ans.

• ln(2) $\approx$ 0,693

On étudie un fragment de bois issu d'une ancienne pirogue. On mesure son activité, notée $A(t)$, et on la compare à l'activité $A_0$ d'un échantillon de bois actuel de même masse. La courbe ci-dessous représente l'évolution du rapport $\frac{A(t)}{A_0}$ en fonction du temps.

Questions

1. Exploitation graphique

a. À partir de la définition du temps de demi-vie, retrouver graphiquement la valeur de $t_{1/2}$ pour le carbone 14. Laisser apparents les traits de construction sur le graphique. (2 pts)

b. La mesure de l'activité du fragment de la pirogue montre qu'elle est égale à 65% de celle d'un échantillon moderne. Déterminer graphiquement l'âge de la pirogue. (2 pts)

2. Vérification par le calcul

a. Calculer la constante radioactive $\lambda$ du carbone 14 en an$^{-1}$. (2 pts)

b. En utilisant la loi de décroissance de l'activité $A(t) = A_0 e^{-\lambda t}$, retrouver par le calcul l'âge de la pirogue. (3 pts)

c. Expliquer pourquoi la méthode de datation au carbone 14 n'est pas adaptée pour estimer l'âge de fossiles de dinosaures, disparus il y a environ 65 millions d'années. (1 pt)