Cinétique chimique et modélisation microscopique

Exercice : Optimisation de la dépollution d'une eau (20 points)

Une entreprise de traitement des eaux étudie la dégradation d'un polluant organique, le pesticide "phénachlor" (noté P), par du peroxyde d'hydrogène ($H_2O_2$) en présence d'ions fer(III) ($Fe^{3+}$) qui catalysent la réaction. L'équation de la réaction de dégradation est :

$P_{(aq)} + H_2O_{2 (aq)} \rightarrow \text{Produits inoffensifs}$

On considère que le peroxyde d'hydrogène est introduit en large excès. Le volume de la solution est $V = 1,0$ L.

Partie 1 : Suivi cinétique par spectrophotométrie

On suit l'évolution de la concentration molaire $[P]$ du pesticide au cours du temps. Les résultats sont présentés sur le graphique ci-dessous.

Figure 1 : Évolution de la concentration [P] en fonction du temps à 25°C.

1. Vitesse de réaction (3 points)

a. Donner l'expression de la vitesse volumique de disparition du pesticide P en fonction de sa concentration $[P]$.

b. Déterminer graphiquement la valeur de cette vitesse à l'instant initial $t=0$. Détailler la démarche.

c. Comment évolue cette vitesse au cours du temps ? Justifier cette évolution à l'aide d'un facteur cinétique.

2. Temps de demi-réaction (3 points)

a. Définir le temps de demi-réaction $t_{1/2}$.

b. Déterminer graphiquement sa valeur.

c. En supposant que la réaction suit une loi de vitesse d'ordre 1, quelle devrait être la concentration en P à $t = 2 \times t_{1/2}$ ? Vérifier cette valeur sur le graphique.

Partie 2 : Modélisation microscopique

Pour comprendre l'action du catalyseur, on propose un mécanisme réactionnel simplifié en deux actes élémentaires. Le catalyseur $Fe^{3+}$ réagit d'abord avec le peroxyde d'hydrogène pour former une espèce très réactive, l'ion radical hydroxyle $HO^{\bullet}$. Ce dernier réagit ensuite avec le pesticide P.

• Acte 1 : $Fe^{3+}*{(aq)} + H_2O*{2 (aq)} \rightarrow Fe^{2+}*{(aq)} + HO^{\bullet}*{(aq)} + H^{+}_{(aq)}$

• Acte 2 : $P_{(aq)} + HO^{\bullet}_{(aq)} \rightarrow \text{Produits}$

1. Rôle des espèces (3 points)

a. En combinant les deux actes élémentaires, montrer que les ions $Fe^{3+}$ jouent bien le rôle de catalyseur. On admettra que les ions $Fe^{2+}$ formés sont rapidement ré-oxydés en $Fe^{3+}$ par d'autres réactions, ce qui n'est pas montré dans ce mécanisme simplifié.

b. Identifier l'intermédiaire réactionnel dans ce mécanisme. Justifier.

2. Flèches courbes (5 points)

On s'intéresse à un acte élémentaire similaire à l'acte 2, où une espèce réactive attaque la molécule de phénachlor. Une partie de la molécule de phénachlor est assimilable à une molécule de propanone. L'acte étudié est l'addition de l'ion hydroxyde $HO^-$ sur la propanone.

a. Identifier le site donneur de doublet d'électrons sur l'ion hydroxyde et le site accepteur sur la molécule de propanone. Justifier en utilisant les électronégativités des atomes (On donne : $\chi(O) > \chi(C)$).

b. Sur votre copie, reproduire le schéma de la réaction ci-dessus et y ajouter les flèches courbes qui permettent d'expliquer la formation du produit.

Partie 3 : Modélisation numérique

On souhaite simuler l'évolution de la concentration du polluant P au cours du temps en supposant que la réaction est d'ordre 1 par rapport à P. La loi de vitesse s'écrit alors : $v_{disp}(P) = -\frac{d[P]}{dt} = k \cdot [P]$.

Pour résoudre numériquement cette équation, on peut utiliser la méthode d'Euler, qui approxime la concentration à l'instant $t+\Delta t$ par :

$[P](t+\Delta t) \approx [P](t) - k \cdot [P](t) \cdot \Delta t$

On utilise pour cela le script Python ci-dessous, dans lequel il manque une ligne de code.

import matplotlib.pyplot as plt

import numpy as np



# --- Paramètres de la simulation ---

P0 = 1.0e-3  # Concentration initiale en mol/L

k = 0.0231   # Constante de vitesse en min⁻¹ (calculée à partir de t₁/₂=30 min)

t_final = 120 # Durée de la simulation en min

N = 200      # Nombre de points de calcul



# --- Initialisation des listes ---

t = np.linspace(0, t_final, N) # Liste des instants

P = np.zeros(N)                # Liste des concentrations

P[0] = P0

dt = t_final / (N-1)           # Pas de temps



# --- Boucle de calcul par la méthode d'Euler ---

for i in range(N - 1):

    # Ligne 17 : À compléter pour calculer P[i+1] en fonction de P[i]

    ...



# --- Affichage du graphique ---

plt.plot(t, P, label='[P] simulée')

plt.xlabel('Temps (min)')

plt.ylabel('Concentration [P] (mol/L)')

plt.title("Modélisation de l'évolution de la concentration du polluant")

plt.legend()

plt.grid()

plt.show()

1. Analyse du script (6 points)

a. Quelle est la valeur de la concentration initiale P0 et de la constante de vitesse k utilisées dans cette simulation ? Sont-elles cohérentes avec les données de la Partie 1 ?

b. Recopier et compléter la ligne 17 du script Python pour que celui-ci simule correctement l'évolution de la concentration $[P]$ par la méthode d'Euler.

c. On souhaite maintenant simuler la dégradation du polluant à une température plus élevée. Quel(s) paramètre(s) du script faudrait-il modifier ? Dans quel sens (augmentation ou diminution) ? Justifier.