Mécanique céleste et gravitation

Exercice 1 : Étude du mouvement d'un satellite en orbite circulaire (8 points)

On s'intéresse au mouvement d'un satellite de masse $m$ en orbite circulaire de rayon $r$ autour d'un astre attracteur de masse $M$ et de centre O. On suppose que la masse du satellite est très inférieure à celle de l'astre ($m \ll M$). L'étude est menée dans un référentiel astrocentrique, considéré comme galiléen.

1. Force de gravitation (1,5 pt)

Exprimer vectoriellement la force de gravitation $\vec{F}_{M/m}$ exercée par l'astre sur le satellite. On utilisera un vecteur unitaire $\vec{u}_n$ dirigé du satellite vers le centre de l'astre O.

2. Accélération d'après la deuxième loi de Newton (1,5 pt)

En appliquant la deuxième loi de Newton au satellite, montrer que son vecteur accélération $\vec{a}$ s'écrit :

vec

3. Accélération dans la base de Frenet (2 pts)

a. Rappeler l'expression générale du vecteur accélération $\vec{a}$ dans la base de Frenet $(\vec{u}_t, \vec{u}_n)$ pour un mouvement circulaire de rayon $r$ et de vitesse $v$. (1 pt)

b. En comparant les deux expressions du vecteur accélération obtenues aux questions 2 et 3.a, montrer que le mouvement du satellite est uniforme. (1 pt)

4. Vitesse du satellite (1,5 pt)

Toujours par identification, déduire de la question précédente l'expression de la vitesse $v$ du satellite en fonction de $G$, $M$ et $r$.

5. Troisième loi de Kepler (1,5 pt)

a. Exprimer la période de révolution $T$ du satellite en fonction de son rayon $r$ et de sa vitesse $v$. (0,5 pt)

b. En utilisant les résultats précédents, établir la troisième loi de Kepler pour une orbite circulaire :

frac

Exercice 2 : Le satellite géostationnaire (12 points)

Un satellite est dit géostationnaire s'il reste immobile par rapport à un observateur terrestre. Pour cela, son orbite doit être circulaire, située dans le plan de l'équateur, et sa période de révolution doit être égale à la période de rotation de la Terre sur elle-même (jour sidéral).

Données :

• Constante de gravitation universelle : $G = 6,67 \times 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}$

• Masse de la Terre : $M_T = 5,97 \times 10^{24} \text{ kg}$

• Rayon de la Terre : $R_T = 6378 \text{ km}$

• Période de rotation sidérale de la Terre : $T_{Terre} = 23 \text{ h } 56 \text{ min } 4 \text{ s}$

1. Période de révolution (2 pts)

Quelle doit être la période de révolution $T$ du satellite pour qu'il soit géostationnaire ? Convertir cette durée en secondes.

2. Rayon de l'orbite (4 pts)

a. En utilisant la troisième loi de Kepler établie dans l'exercice 1, exprimer le rayon $r$ de l'orbite du satellite en fonction de $T$, $G$ et $M_T$. (2 pts)

b. Calculer la valeur numérique de ce rayon $r$. (2 pts)

3. Altitude du satellite (2 pts)

Déduire de la question précédente l'altitude $h$ à laquelle le satellite doit se trouver par rapport à la surface de la Terre. L'altitude est définie par $h = r - R_T$.

4. Vitesse du satellite (2 pts)

Calculer la vitesse $v$ du satellite sur son orbite.

5. Condition sur le plan de l'orbite (2 pts)

Expliquer pourquoi l'orbite d'un satellite géostationnaire doit impérativement être dans le plan de l'équateur terrestre.