Cinématique et deuxième loi de Newton

Exercice 1 : Le tir au panier (12 points)

Lors d'un match de basket, un joueur lance le ballon pour marquer un panier. On étudie le mouvement du centre de masse G du ballon dans le référentiel terrestre, considéré comme galiléen. Le repère d'étude est $(O, \vec{i}, \vec{j})$, avec $O$ au niveau du sol, l'axe $(Ox)$ horizontal et l'axe $(Oy)$ vertical orienté vers le haut.

Le ballon, de masse $m = 600 \text{ g}$, est lancé d'un point $L$ de coordonnées $(0, h_0)$ avec une vitesse initiale $\vec{v}*0*$de valeur$*v_0 = 8,0 \text{ m/s}*$, faisant un angle$*\alpha = 60°*$avec l'horizontale. Le point de lancer$*L*$est à une hauteur$*h_0 = 2,10 \text{ m}*$du sol.

L'arceau du panier est situé à une hauteur$*y*{panier} = 3,05 \text{ m}$et à une distance horizontale$x_{panier} = 3,80 \text{ m}$ du joueur.

On négligera les frottements de l'air et la poussée d'Archimède.

On prendra $g = 9,81 \text{ m/s}^2$.

Questions

1. (1 pt) Définir le système étudié. Indiquer le référentiel d'étude. Faire le bilan des forces s'exerçant sur le ballon après le lancer et les représenter sur un schéma sans souci d'échelle.

2. (2 pts) En appliquant la deuxième loi de Newton, déterminer les coordonnées $a_x$ et $a_y$ du vecteur accélération $\vec{a}$ du ballon dans le repère $(O, \vec{i}, \vec{j})$.

3. (2 pts) Déterminer les coordonnées du vecteur vitesse initiale $\vec{v}_0$ à l'instant $t=0$. Par intégration successive, établir les expressions des coordonnées $v_x(t)$ et $v_y(t)$ du vecteur vitesse du ballon.

4. (2 pts) Déterminer les coordonnées du vecteur position initiale $\vec{OG}(0)$. Par une nouvelle intégration, établir les équations horaires du mouvement $x(t)$ et $y(t)$.

5. (2 pts) À partir des équations horaires, montrer que l'équation de la trajectoire du ballon est :

frac

6. (3 pts) Le tir est-il réussi ? Pour cela, calculer la hauteur du ballon lorsqu'il se trouve à la verticale de l'arceau. On considérera que le tir est réussi si la hauteur du ballon à cette abscisse est comprise entre $3,05 \text{ m}$ et $3,20 \text{ m}$.

Exercice 2 : Aspects énergétiques (8 points)

On reprend l'étude du mouvement du ballon de basket de l'exercice 1.

Questions

1. (1 pt) Donner les expressions littérales de l'énergie cinétique $E_c$, de l'énergie potentielle de pesanteur $E_{pp}$ et de l'énergie mécanique $E_m$ du ballon. On choisira l'origine des énergies potentielles au niveau du sol ($y=0$).

2. (2 pts) Calculer la valeur de l'énergie mécanique $E_{m,i}$ du ballon à l'instant initial $t=0$, au point de lancement $L$.

3. (3 pts) Le sommet de la trajectoire est le point où la composante verticale de la vitesse $v_y$ s'annule.

a. Calculer l'instant $t_S$ auquel le ballon atteint le sommet de sa trajectoire.

b. En déduire les coordonnées $(x_S, y_S)$ du sommet.

c. Calculer l'énergie mécanique $E_{m,S}$ du ballon au sommet de la trajectoire.

4. (2 pts) Comparer les valeurs de $E_{m,i}$ et $E_{m,S}$. Que peut-on en conclure ? Justifier cette conclusion en utilisant le bilan des forces de l'exercice 1.