Évolution thermique et Bilan Terre-Atmosphère

Exercice 1 : Loi de refroidissement de Newton (10 points)

Un thermoplongeur est utilisé pour chauffer un volume $V = 1,0 \text{ L}$ d'eau, initialement à une température $T_0 = 20\text{°C}$. L'eau est contenue dans un bécher que l'on considère comme un système incompressible, de masse $m$ et de capacité thermique massique $c$. L'ensemble est placé dans une pièce où la température ambiante est maintenue constante à $T_{ext} = 20\text{°C}$.

À l'instant $t=0$, on retire le thermoplongeur. L'eau, alors à la température $T_i = 90\text{°C}$, commence à se refroidir. On note $T(t)$ la température de l'eau à l'instant $t$.

On modélise le transfert thermique entre l'eau et l'air par la loi de Newton, qui stipule que le flux thermique $\Phi(t)$ sortant du système est proportionnel à la différence de température entre le système et le milieu extérieur :

$\Phi(t) = h \cdot S \cdot (T(t) - T_{ext})$

où $h$ est le coefficient de transfert thermique et $S$ est la surface d'échange.

Données :

• Masse volumique de l'eau : $\rho = 1000 \text{ kg} \cdot \text{m}^{-3}$

• Capacité thermique massique de l'eau : $c = 4185 \text{ J} \cdot \text{kg}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}$

1. Établissement de l'équation différentielle (4 points)

1. Exprimer la masse $m$ de l'eau en fonction de $\rho$ et $V$. Calculer sa valeur. (1 pt)

2. Le premier principe de la thermodynamique, pour un système incompressible au repos, s'écrit $dU = \delta Q$, où $dU$ est la variation d'énergie interne et $\delta Q$ l'énergie thermique échangée avec l'extérieur.

Exprimer la variation d'énergie interne $dU$ du système (l'eau) pendant une durée infinitésimale $dt$ en fonction de $m$, $c$ et de la variation de température $dT$. (1 pt)

3. Le transfert thermique $\delta Q$ reçu par le système pendant $dt$ est lié au flux thermique $\Phi(t)$ par la relation $\delta Q = - \Phi(t) \cdot dt$. Justifier le signe "$-$" dans cette expression. (1 pt)

4. En combinant les relations précédentes, montrer que l'évolution de la température $T(t)$ est régie par l'équation différentielle suivante :

frac

On exprimera la constante de temps $\tau$ en fonction de $m$, $c$, $h$ et $S$. (1 pt)

2. Résolution et application (6 points)

On admet que la solution de cette équation différentielle est de la forme :

$T(t) = (T_i - T_{ext})e^{-t/\tau} + T_{ext}$

1. Vérifier que cette solution respecte bien la condition initiale à $t=0$. (1 pt)

2. Quelle est la limite de $T(t)$ lorsque $t$ tend vers l'infini ? Interpréter physiquement ce résultat. (1 pt)

3. La constante de temps mesurée expérimentalement est $\tau = 45 \text{ min}$. Calculer la température de l'eau après 30 minutes de refroidissement. (2 pts)

4. Déterminer, par le calcul, l'instant $t_{fin}$ auquel la température de l'eau atteint $40\text{°C}$. (2 pts)

Exercice 2 : Bilan radiatif de la Terre (10 points)

On cherche à estimer la température moyenne à la surface de la Terre en étudiant son bilan radiatif avec le Soleil et l'espace. On considère que le système {Terre-Atmosphère} est à l'équilibre thermique : il rayonne vers l'espace autant d'énergie qu'il en absorbe en provenance du Soleil.

Données :

• Puissance solaire surfacique moyenne arrivant au sommet de l'atmosphère : $P_{reçue} = 340 \text{ W} \cdot \text{m}^{-2}$

• Albédo moyen du système {Terre-Atmosphère} : $A = 0,30$

• Loi de Stefan-Boltzmann : la puissance surfacique $P_{émise}$ rayonnée par un corps noir à la température $T$ (en Kelvin) est $P_{émise} = \sigma \cdot T^4$.

• Constante de Stefan-Boltzmann : $\sigma = 5,67 \times 10^{-8} \text{ W} \cdot \text{m}^{-2} \cdot \text{K}^{-4}$

• Conversion de température : $T(\text{K}) = T(\text{°C}) + 273,15$

1. Température d'équilibre sans effet de serre (6 points)

1. L'albédo $A$ est le rapport de la puissance solaire réfléchie sur la puissance solaire reçue. Définir en une phrase ce que représente l'albédo terrestre de 0,30. (1 pt)

2. Calculer la puissance surfacique moyenne $P_{abs}$ absorbée par le système {Terre-Atmosphère}. (2 pts)

3. À l'équilibre thermique, la puissance surfacique moyenne $P_{émise}$ rayonnée par le système vers l'espace est égale à la puissance absorbée $P_{abs}$. En utilisant la loi de Stefan-Boltzmann, calculer la température d'équilibre théorique $T_{eq}$ du système. (2 pts)

4. Convertir cette température $T_{eq}$ en degrés Celsius. (1 pt)

2. Influence de l'atmosphère et de l'albédo (4 points)

1. La température moyenne réellement mesurée à la surface de la Terre est de $+15\text{°C}$. Comparer cette valeur à celle calculée à la question 1.4. Nommer le phénomène physique qui explique cette différence majeure. (2 pts)

2. Expliquer qualitativement comment ce phénomène conduit à une augmentation de la température à la surface de la Terre. (1 pt)

3. La fonte des glaces (banquise, calottes polaires) fait diminuer l'albédo de la Terre. Sans calcul, indiquer comment cette diminution de l'albédo influence la température d'équilibre de la Terre. (1 pt)