Mouvement dans des champs uniformes

Exercice 1 : Le principe de l'oscilloscope analogique (12 points)

Un oscilloscope analogique utilise un faisceau d'électrons pour visualiser un signal électrique. Le dispositif, appelé tube cathodique, est placé dans le vide. Il comprend deux parties principales : une zone d'accélération et une zone de déviation. On étudie le mouvement d'un électron dans le repère $(O, \vec{i}, \vec{j})$ schématisé ci-dessous.

L'électron, de masse $m$ et de charge $q = -e$, est initialement au repos au point A. Il est accéléré par une tension $U_{AC} > 0$ entre les points A et C. Il pénètre ensuite en O, avec une vitesse $\vec{v_0}$, dans la région des plaques de déviation.

Entre les plaques P1 et P2, de longueur $L$, règne un champ électrique uniforme $\vec{E}$, vertical, dirigé vers le haut. On négligera le poids de l'électron devant la force électrique.

Données :

• Masse de l'électron : $m = 9,11 \times 10^{-31}$ kg

• Charge élémentaire : $e = 1,60 \times 10^{-19}$ C

• Tension d'accélération : $U_{AC} = 2,0$ kV

• Norme du champ de déviation : $E = 4,0 \times 10^4$ V·m⁻¹

• Longueur des plaques : $L = 5,0$ cm

Partie 1 : Phase d'accélération (4 points)

1. Énoncer le théorème de l'énergie cinétique entre les points A et C. (1 point)

2. Exprimer le travail de la force électrique subie par l'électron entre A et C en fonction de $q$ et $U_{AC}$. (1 point)

3. L'électron partant du repos en A, en déduire l'expression littérale de sa vitesse $v_0$ au point O, puis calculer sa valeur. On considérera que $v_C = v_0$. (2 points)

Partie 2 : Phase de déviation (8 points)

L'électron pénètre en O dans la zone de déviation avec le vecteur vitesse $\vec{v_0} = v_0 \vec{i}$ à l'instant $t=0$.

1. En appliquant la deuxième loi de Newton, déterminer les coordonnées du vecteur accélération $\vec{a}$ de l'électron entre les plaques. (2 points)

2. En déduire les coordonnées du vecteur vitesse $\vec{v}(t)$ au cours du temps. (2 points)

3. Montrer que les équations horaires du mouvement de l'électron sont :

\begin{cases} x(t) = v_0 t y(t) = \frac{eE}{2m} t^2 \end{cases} $$ **(2 points)** 4. À partir des équations horaires, établir l'équation de la trajectoire $y(x)$ de l'électron. Quelle est la nature de cette trajectoire ? **(2 points)** ## Exercice 2 : Lancer de poids (8 points) Lors d'une compétition d'athlétisme, un athlète lance un poids de masse $m = 7,26$ kg. À l'instant initial $t=0$, le centre de masse G du poids est à une hauteur $h = 2,10$ m au-dessus du sol. Le vecteur vitesse initial $\vec{v_0}$ fait un angle $\alpha = 45°$ avec l'horizontale et sa norme est $v_0 = 13,0$ m·s⁻¹. On étudie le mouvement dans le repère terrestre $(O, \vec{i}, \vec{k})$ supposé galiléen, l'axe $(O, \vec{k})$ étant vertical et orienté vers le haut. On négligera les forces de frottement de l'air. **Donnée :** - Intensité du champ de pesanteur : $g = 9,81$ m·s⁻² ### 1. Équations du mouvement (4 points) 1. En appliquant la deuxième loi de Newton, déterminer les coordonnées du vecteur accélération $\vec{a}$ du poids. **(1 point)** 2. Donner les coordonnées du vecteur vitesse initial $\vec{v_0}$ dans le repère choisi. **(1 point)** 3. En déduire les équations horaires de la vitesse $v_x(t)$ et $v_k(t)$, puis les équations horaires de la position $x(t)$ et $k(t)$ du poids. **(2 points)** ### 2. Étude de la trajectoire (4 points) 1. Montrer que l'équation de la trajectoire du poids s'écrit : frac Quelle est la nature de cette courbe ? **(2 points)** 2. La hauteur maximale atteinte par le poids est appelée la "flèche". À cet instant, la composante verticale de la vitesse s'annule. Calculer la hauteur maximale $k_{max}$ atteinte par le poids. **(2 points)**