Le condensateur et la dynamique du réseau électrique (Circuit RC)

Exercice : Étude du système de déclenchement d'un airbag (20 points)

Le système de déclenchement d'un airbag automobile repose sur un capteur d'accélération. Une forte décélération (un choc) modifie la capacité $C$ d'un condensateur qui sert de capteur. Cette variation est détectée par un circuit électronique qui, si un seuil est dépassé, commande le gonflage de l'airbag.

Nous allons étudier le circuit de charge de ce condensateur, représenté ci-dessous. Le circuit est alimenté par un générateur de tension continue de force électromotrice $E = 12$ V. Il comprend également un conducteur ohmique de résistance $R = 10$ kΩ et le condensateur-capteur de capacité $C$, initialement déchargé.

À l'instant $t=0$, on ferme l'interrupteur K.

Partie 1 : Étude théorique de la charge (10 points)

1. Sur le schéma du circuit, représenter le sens du courant $i(t)$ lors de la charge, et flécher les tensions $u_R(t)$ et $u_C(t)$ en convention récepteur. (2 points)

2. En appliquant la loi des mailles, établir l'équation différentielle qui régit l'évolution de la tension $u_C(t)$ aux bornes du condensateur pendant la charge. (3 points)

On rappelle les relations : $u_R(t) = R \cdot i(t)$ et $i(t) = C \frac{du_C(t)}{dt}$.

3. La solution de cette équation différentielle est de la forme : $u_C(t) = A(1 - e^{-t/\tau})$. Déterminer l'expression des constantes $A$ et $\tau$ en fonction des paramètres du circuit ($E, R, C$). (3 points)

4. Le temps caractéristique $\tau$ est défini par $\tau = RC$. Montrer par une analyse dimensionnelle que $\tau$ est homogène à un temps. (2 points)

Partie 2 : Détermination des caractéristiques et déclenchement (10 points)

On a enregistré l'évolution de la tension $u_C(t)$ aux bornes du condensateur lors de sa charge. La courbe obtenue est la suivante :

1. Détermination graphique du temps caractéristique (4 points)

Déterminer la valeur du temps caractéristique $\tau$ à partir du graphique en utilisant deux méthodes différentes. Détailler votre démarche pour chaque méthode.

• Méthode 1 : Utilisation de la tangente à l'origine.

• Méthode 2 : Calcul de la tension à la date $t = \tau$.

2. Détermination de la capacité (3 points)

En utilisant la valeur de $\tau$ obtenue graphiquement et la valeur de la résistance $R = 10$ kΩ, calculer la valeur de la capacité $C$ du condensateur-capteur.

3. Condition de déclenchement (3 points)

Le système électronique de l'airbag se déclenche lorsque la tension aux bornes du condensateur atteint la valeur seuil $U_{seuil} = 9,0$ V.

Calculer la durée $t_{decl}$ nécessaire pour que la tension $u_C$ atteigne cette valeur.